三次根号差有理化公式

标签：数学公式、根号、代数

三次根号差有理化公式是将两个三次根号的差化简为单一三次根号的形式的公式。该公式对于简化数学表达式和解方程非常有用。

公式：

$$sqrt{a}-sqrt{b}=frac{a-b}{sqrt{a^2}sqrt{ab}sqrt{b^2}}$$

推导：

为了推导出该公式，我们先将分子和分母同时乘以$sqrt{a^2}sqrt{ab}sqrt{b^2}$：

$$(sqrt{a}-sqrt{b})(sqrt{a^2}sqrt{ab}sqrt{b^2})=(a-b)$$

然后，我们化简左式：

$$sqrt{a^3}-sqrt{a^2b}sqrt{ab^2}-sqrt{b^3}=a-b$$

由于$sqrt{a^3}=a$和$sqrt{b^3}=b$，我们可以得到最终的公式：

$$sqrt{a}-sqrt{b}=frac{a-b}{sqrt{a^2}sqrt{ab}sqrt{b^2}}$$

实例：

使用该公式来有理化$sqrt{8}-sqrt{2}$：

$$sqrt{8}-sqrt{2}=frac{8-2}{sqrt{8^2}sqrt{8cdot2}sqrt{2^2}}=frac{6}{sqrt{64}sqrt{16}sqrt{4}}$$

$$=frac{6}{sqrt{2^6}sqrt{2^4}sqrt{2^2}}=frac{6}{2sqrt{2^2}}$$

$$=frac{6}{2cdot2}=frac{3}{2}$$

因此，$sqrt{8}-sqrt{2}=frac{3}{2}$。